Bahnenergie

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Berechnung der Gesamtenergie eines Satelliten in der Erdumlaufbahn

Befindet sich ein Satellit auf einer Erdumlaufbahn so setzt sich seine Energie aus der kinetischen und der potenziellen Energie zusammen:

E_{Bahn} = E_{kin} + E_{pot}

Die kinetische Energie ist abhängig von seiner Bahngeschwindigkeit:

E_{kin} = \frac{1}{2} m_{s} v^{2}

und die potentielle Energie entspricht der Arbeit, die nötig ist um ihn in seine Bahn zu schießen. Dabei gilt aber, dass der Bezugspunkt der potentiellen Energie im unendlichen liegt:

E_{pot} = γ \cdot m_{S} \cdot m_{E} \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})

Dabei ist m_E die Erdmasse und m_S die Masse des Satelliten.
Mit r₁ = ∞ und r₂ = r_S ergibt sich:

E_{pot} = - γ \cdot m_{S} \cdot m_{E} \cdot (\frac{1}{r_{S}})

E_{Bahn} = \frac{1}{2} \cdot m_{S} \cdot v_{S}^{2} - γ \cdot m_{S} \cdot m_{E} \cdot (\frac{1}{r_{S}})

Die Geschwindigkeit v kann ersetzt werden durch:

v = \sqrt{γ \frac{m_{E}}{r_{S}}}

Diese Formel hatten wir vor kurzem hergeleitet.

E_{Bahn} = \frac{1}{2} \cdot m_{S} \cdot {\sqrt{γ \frac{m_{E}}{r_{S}}}}^{2} - γ \cdot m_{S} \cdot m_{E} \cdot (\frac{1}{r_{S}})

und nach Auflösen der Wurzel:

E_{Bahn} = \frac{1}{2} \cdot γ \cdot m_{E} \cdot m_{S} \cdot (\frac{1}{r_{S}}) - γ \cdot m_{S} \cdot m_{E} \cdot (\frac{1}{r_{S}})

Das kann zusammen gefasst werden zu:

E_{Bahn} = - \frac{1}{2} \cdot γ \cdot m_{S} \cdot m_{E} \cdot (\frac{1}{r_{S}})

Diese Formel beschreibt die Energie des Satelliten auf seiner Bahn – sie wird deshalb auch einfach kurz Bahnenergie genannt.

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