geostationäre Umlaufbahn

OSZ-Banner

Herleitung der Formel für die geostationäre Umlaufbahn von Fernseh-Satelliten

Ein Satellit muss sich in einer geostationären Umlaufbahn befinden, damit er immer über dem selben Punkt P des Äquators stehen kann. Dann kann mit einer fest ausgerichteten Satelliten-Antenne das TV-Programm empfangen werden.

Credit:NASA "Blue Marble"

Animation der geostationären Umlaufbahn eines Fernseh-Satelliten

Physikalisch ausgedrückt bedeutet das, dass die Winkelgeschwindigkeiten des Satelliten und des Punktes P auf dem Äquator identisch sind:

ω_{S} = ω_{P} = \frac{2 π}{T}

dabei ist T die Umlaufzeit, also 24 h oder 86400 s.

Frage: Wie groß ist der Bahnradius eines Ferseh-Satelliten?
Für die Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn gilt:

v_{Bahn} = \frac{s}{t} = \frac{U}{T} = \frac{2 π r_{s}}{T}

1. Formel

Außerdem hatten wir schon eine Formel für die Bahngeschwindigkeit in der Erdumlaufbahn hergeleitet:

v_{Bahn} = \sqrt[]{\frac{γ \cdot M}{r_{s}}}

2. Formel

Diese beiden Formeln können gleichgesetzt und anschließend nach r_S aufgelöst werden:

\sqrt[]{\frac{γ \cdot M}{r_{s}}} = \frac{2 π r_{s}}{T} ∣^{2}

\frac{γ \cdot M}{r_{s}} = \frac{4 π^{2} {r_{s}}^{2}}{T^{2}} ∣ \cdot r_{s} \cdot T^{2}

{r_{s}}^{3} = \frac{γ M T^{2}}{4 π^{2}} ∣ \sqrt[3]{}

r_{s} = \sqrt[3]{\frac{γ M T^{2}}{4 π^{2}}}

Mit der Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit könnte man auch schreiben:

r_{s} = \sqrt[3]{\frac{γ M}{ω^{2}}}

Einsetzen der bekannten Größen:

r_{s} = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{- 11} \frac{{Nm}^{2}}{{kg}^{2}} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} kg \cdot {(86400s)}^{2}}{4 π^{2}}}

Damit erhält man:

r_{s} = 4,225 \cdot 10^{7} m = \underset{̲}{42250km}

Die geostationäre Umlaufbahn hat einen Bahnradius von 42250 km. Alle Fernsehsatelliten müssen sich auf dieser Bahn befinden. Deshalb wird es inzwischen eng auf der Bahn.

Erstellt von A. N. mit kleinen Ergänzungen von Herrn Ecker. 25.9.2013

Zurück zur Kursübersicht